Полное решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

[Abzster0_o]

Уравнение колебаний для x(t):

 

ẍ + 2γẋ + ω₀² + x = f(t)

{ x(0) = x₀

{ ẋ(0) = x₁

 

Запишем и решим характеристическое уравнение:

 

k² + 2γk + ω₀² = 0

k_1,2 = -γ ± (γ² - ω₀²)^1/2

 

Рассмотрим 3 различных случая, когда k_1,2:

 

1. γ² - ω₀² > 0 → Γ² = γ² - ω₀² → k_1,2 = -γ ± Γ

2. γ² - ω₀² = 0 → k_1,2 = -γ

3. γ² - ω₀² < 0 → Ω² = ω₀² - γ² → k_1,2 = -γ ± iΩ

 

Запишем решения однородных дифференциальных уравнений для этих случаев:

 

1. x_о(t) = [C₁*exp(Γ*t) + C₂*exp(-Γ*t)]*exp(-γ*t)

2. x_о(t) = [C₁ + C₂*t]*exp(-γ*t)

3. x_о(t) = [C₁*cos(Ω*t) + C₂*sin(Ω*t)]*exp(-γ*t)

 

Вспомним представления гиперболических функций:

 

ch(Γ*t) = 1/2*[exp(Γ*t) + exp(-Γ*t)]

sh(Γ*t) = 1/2*[exp(Γ*t) - exp(-Γ*t)]

exp(Γ*t) = ch(Γ*t) + sh(Γ*t)

exp(-Γ*t) = ch(Γ*t) - sh(Γ*t)

 

Разберём частное решение неоднородного дифференциального уравнения для третьего случая:

 

x^*(t) = [C₁(t)*cos(Ω*t) + C₂(t)*sin(Ω*t)]*exp(-γ*t)

 

Для нахождения неизвестных функций C₁ и C₂ применим метод вариации постоянной:

 

Ċ₁*exp(-γ*t)*cos(Ω*t) + Ċ₂*exp(-γ*t)*sin(Ω*t) = 0

Ċ₁*{exp(-γ*t)*[-γ*cos(Ω*t) - Ω*sin(Ω*t)]} + Ċ₂*{exp(-γ*t)*[-γ*sin(Ω*t) + Ω*cos(Ω*t)]} = f(t)

 

Для решения этой системы будем пользоваться методом Крамера:

 

Δ = exp(-γ*t)*Ω*[cos²(Ω*t) + sin²(Ω*t)] = exp(-γ*t)*Ω

Ċ₁ = -f(t)*exp(γ*t)*sin(Ω*t)/Ω

Ċ₂ = f(t)*exp(γ*t)*cos(Ω*t)/Ω

 

После интегрирования получаем:

 

C₁(t) = -1/Ω*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(γ*τ)*sin(Ω*τ)

C₂(t) = 1/Ω*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(γ*τ)*cos(Ω*τ)

 

И подставляем найденные функции в наше частное решение:

 

x^*(t) = 1/Ω*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*[cos(Ω*t)*sin(Ω*τ) + sin(Ω*t)*cos(Ω*τ)] = 1/Ω*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ])

 

Следовательно общее решение неоднородного дифференциального уравнения для третьего случая будет таким:

 

x(t) = [C₁*cos(Ω*t) + C₂*sin(Ω*t)]*exp(-γ*t) + 1/Ω*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ])

 

Теперь вспомним, что у нас задача Коши и используем начальные условия:

 

x^*(0) = 0

ẋ^*(0) = 0

x_о(0) = C₁

ẋ_о(0) = -γC₁ + ΩC₂

 

Тем самым найдём наши константы и подставим их в решение:

 

C₁ = x₀

C₂ = (x₁ + γx₀)/Ω

 

x(t) = [x₀*cos(Ω*t) + (x₁ + γx₀)*sin(Ω*t)/Ω]*exp(-γ*t) + 1/Ω*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ])

 

Что бы восстановить решение для первого и второго случая нам достаточно будет вспомнить связь тригонометрических функций с гиперболическими и первый замечательный предел, после чего можно уже смело записывать ответ:

 

1. γ² > ω₀² → Γ² = γ² - ω₀² →

→ x(t) = [x₀*ch(Γ*t) + (x₁ + γx₀)*sh(Γ*t)/Γ]*exp(-γ*t) + 1/Γ*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sh(Γ*[t-τ])

2. γ² = ω₀² → Γ = Ω = 0 →

→ x(t) = [x₀ + (x₁ + γx₀)*t)]*exp(-γ*t) + ₀∫^tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*(t-τ)

3. γ² < ω₀² → Ω² = ω₀² - γ² →

→ x(t) = [x₀*cos(Ω*t) + (x₁ + γx₀)*sin(Ω*t)/Ω]*exp(-γ*t) + 1/Ω*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ])

 

 

Кто хочет решение данного дифференциального уравнения методом операционного исчисления, пишите "+"

Изменено 5 февраля 2019 пользователем Abzster0_o

[Ruffiyyn]

+

[EternitySupreme]

Серьёзли? Вам не надоело хренью заниматься?

[Abzster0_o]

=D

Изменено 5 февраля 2019 пользователем Abzster0_o

[xX_Silver_Fox_Xx]

+

[Abzster0_o]

=D

Изменено 5 февраля 2019 пользователем Abzster0_o

[dFUXi]

+

[Abzster0_o]

=D

Изменено 5 февраля 2019 пользователем Abzster0_o

[The_Misha_YT]

+

[olga27ch2013]

[DiMiTRiY]

+

[CLaSHFeeD]

+

[Abzster0_o]

=D

Изменено 5 февраля 2019 пользователем Abzster0_o

[Tovarish]

+

[Abzster0_o]

=D

Изменено 5 февраля 2019 пользователем Abzster0_o

[_CHEN__]

+

[Abzster0_o]

=D

Изменено 5 февраля 2019 пользователем Abzster0_o

[QuizzicalSque]

+

[Biolla]

+

[Scel]

+

[Abzster0_o]

=D

Изменено 5 февраля 2019 пользователем Abzster0_o

[Naksik]

+

[Abzster0_o]

=D

Изменено 5 февраля 2019 пользователем Abzster0_o

[Leon_Trotsky]

+

[Abzster0_o]

=D

Изменено 5 февраля 2019 пользователем Abzster0_o