Полное решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Abzster0_o · 2019-01-09T17:35:58+00:00

Уравнение колебаний для x(t): ẍ + 2γẋ + ω02 + x = f(t) { x(0) = x0 { ẋ(0) = x1 Запишем и решим характеристическое уравнение: k2 + 2γk + ω02 = 0 k1,2 = -γ ± (γ2 - ω02)1/2 Рассмотрим 3 различных случая, когда k1,2: 1. γ2 - ω02 > 0 → Γ2 = γ2 - ω02 → k1,2 = -γ ± Γ 2. γ2 - ω02 = 0 → k1,2 = -γ 3. γ2 - ω02 < 0 → Ω2 = ω02 - γ2 → k1,2 = -γ ± iΩ Запишем решения однородных дифференциальных уравнений для этих случаев: 1. xо(t) = [C1*exp(Γ*t) + C2*exp(-Γ*t)]*exp(-γ*t) 2. xо(t) = [C1 + C2*t]*exp(-γ*t) 3. xо(t) = [C1*cos(Ω*t) + C2*sin(Ω*t)]*exp(-γ*t) Вспомним представления гиперболических функций: ch(Γ*t) = 1/2*[exp(Γ*t) + exp(-Γ*t)] sh(Γ*t) = 1/2*[exp(Γ*t) - exp(-Γ*t)] exp(Γ*t) = ch(Γ*t) + sh(Γ*t) exp(-Γ*t) = ch(Γ*t) - sh(Γ*t) Разберём частное решение неоднородного дифференциального уравнения для третьего случая: x*(t) = [C1(t)*cos(Ω*t) + C2(t)*sin(Ω*t)]*exp(-γ*t) Для нахождения неизвестных функций C1 и C2 применим метод вариации постоянной: Ċ1*exp(-γ*t)*cos(Ω*t) + Ċ2*exp(-γ*t)*sin(Ω*t) = 0 Ċ1*{exp(-γ*t)*[-γ*cos(Ω*t) - Ω*sin(Ω*t)]} + Ċ2*{exp(-γ*t)*[-γ*sin(Ω*t) + Ω*cos(Ω*t)]} = f(t) Для решения этой системы будем пользоваться методом Крамера: Δ = exp(-γ*t)*Ω*[cos2(Ω*t) + sin2(Ω*t)] = exp(-γ*t)*Ω Ċ1 = -f(t)*exp(γ*t)*sin(Ω*t)/Ω Ċ2 = f(t)*exp(γ*t)*cos(Ω*t)/Ω После интегрирования получаем: C1(t) = -1/Ω*0∫tdτ*f(τ)*exp(γ*τ)*sin(Ω*τ) C2(t) = 1/Ω*0∫tdτ*f(τ)*exp(γ*τ)*cos(Ω*τ) И подставляем найденные функции в наше частное решение: x*(t) = 1/Ω*0∫tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*[cos(Ω*t)*sin(Ω*τ) + sin(Ω*t)*cos(Ω*τ)] = 1/Ω*0∫tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ]) Следовательно общее решение неоднородного дифференциального уравнения для третьего случая будет таким: x(t) = [C1*cos(Ω*t) + C2*sin(Ω*t)]*exp(-γ*t) + 1/Ω*0∫tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ]) Теперь вспомним, что у нас задача Коши и используем начальные условия: x*(0) = 0 ẋ*(0) = 0 xо(0) = C1 ẋо(0) = -γC1 + ΩC2 Тем самым найдём наши константы и подставим их в решение: C1 = x0 C2 = (x1 + γx0)/Ω x(t) = [x0*cos(Ω*t) + (x1 + γx0)*sin(Ω*t)/Ω]*exp(-γ*t) + 1/Ω*0∫tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ]) Что бы восстановить решение для первого и второго случая нам достаточно будет вспомнить связь тригонометрических функций с гиперболическими и первый замечательный предел, после чего можно уже смело записывать ответ: 1. γ2 > ω02 → Γ2 = γ2 - ω02 → → x(t) = [x0*ch(Γ*t) + (x1 + γx0)*sh(Γ*t)/Γ]*exp(-γ*t) + 1/Γ*0∫tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sh(Γ*[t-τ]) 2. γ2 = ω02 → Γ = Ω = 0 → → x(t) = [x0 + (x1 + γx0)*t)]*exp(-γ*t) + 0∫tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*(t-τ) 3. γ2 < ω02 → Ω2 = ω02 - γ2 → → x(t) = [x0*cos(Ω*t) + (x1 + γx0)*sin(Ω*t)/Ω]*exp(-γ*t) + 1/Ω*0∫tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ])

Опубликовано: 9 января 20197 г

Уравнение колебаний для x(t):

ẍ + 2γẋ + ω₀² + x = f(t)

{ x(0) = x₀

{ ẋ(0) = x₁

Запишем и решим характеристическое уравнение:

k² + 2γk + ω₀² = 0

k_1,2 = -γ ± (γ² - ω₀²)^1/2

Рассмотрим 3 различных случая, когда k_1,2:

1. γ² - ω₀² > 0 → Γ² = γ² - ω₀² → k_1,2 = -γ ± Γ

2. γ² - ω₀² = 0 → k_1,2 = -γ

3. γ² - ω₀² < 0 → Ω² = ω₀² - γ² → k_1,2 = -γ ± iΩ

Запишем решения однородных дифференциальных уравнений для этих случаев:

1. x_о(t) = [C₁*exp(Γ*t) + C₂*exp(-Γ*t)]*exp(-γ*t)

2. x_о(t) = [C₁ + C₂*t]*exp(-γ*t)

3. x_о(t) = [C₁*cos(Ω*t) + C₂*sin(Ω*t)]*exp(-γ*t)

Вспомним представления гиперболических функций:

ch(Γ*t) = 1/2*[exp(Γ*t) + exp(-Γ*t)]

sh(Γ*t) = 1/2*[exp(Γ*t) - exp(-Γ*t)]

exp(Γ*t) = ch(Γ*t) + sh(Γ*t)

exp(-Γ*t) = ch(Γ*t) - sh(Γ*t)

Разберём частное решение неоднородного дифференциального уравнения для третьего случая:

x^*(t) = [C₁(t)*cos(Ω*t) + C₂(t)*sin(Ω*t)]*exp(-γ*t)

Для нахождения неизвестных функций C₁ и C₂ применим метод вариации постоянной:

Ċ₁*exp(-γ*t)*cos(Ω*t) + Ċ₂*exp(-γ*t)*sin(Ω*t) = 0

Ċ₁*{exp(-γ*t)*[-γ*cos(Ω*t) - Ω*sin(Ω*t)]} + Ċ₂*{exp(-γ*t)*[-γ*sin(Ω*t) + Ω*cos(Ω*t)]} = f(t)

Для решения этой системы будем пользоваться методом Крамера:

Δ = exp(-γ*t)*Ω*[cos²(Ω*t) + sin²(Ω*t)] = exp(-γ*t)*Ω

Ċ₁ = -f(t)*exp(γ*t)*sin(Ω*t)/Ω

Ċ₂ = f(t)*exp(γ*t)*cos(Ω*t)/Ω

После интегрирования получаем:

C₁(t) = -1/Ω*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(γ*τ)*sin(Ω*τ)

C₂(t) = 1/Ω*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(γ*τ)*cos(Ω*τ)

И подставляем найденные функции в наше частное решение:

x^*(t) = 1/Ω*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*[cos(Ω*t)*sin(Ω*τ) + sin(Ω*t)*cos(Ω*τ)] = 1/Ω*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ])

Следовательно общее решение неоднородного дифференциального уравнения для третьего случая будет таким:

x(t) = [C₁*cos(Ω*t) + C₂*sin(Ω*t)]*exp(-γ*t) + 1/Ω*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ])

Теперь вспомним, что у нас задача Коши и используем начальные условия:

x^*(0) = 0

ẋ^*(0) = 0

x_о(0) = C₁

ẋ_о(0) = -γC₁ + ΩC₂

Тем самым найдём наши константы и подставим их в решение:

C₁ = x₀

C₂ = (x₁ + γx₀)/Ω

x(t) = [x₀*cos(Ω*t) + (x₁ + γx₀)*sin(Ω*t)/Ω]*exp(-γ*t) + 1/Ω*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ])

Что бы восстановить решение для первого и второго случая нам достаточно будет вспомнить связь тригонометрических функций с гиперболическими и первый замечательный предел, после чего можно уже смело записывать ответ:

1. γ² > ω₀² → Γ² = γ² - ω₀² →

→ x(t) = [x₀*ch(Γ*t) + (x₁ + γx₀)*sh(Γ*t)/Γ]*exp(-γ*t) + 1/Γ*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sh(Γ*[t-τ])

2. γ² = ω₀² → Γ = Ω = 0 →

→ x(t) = [x₀ + (x₁ + γx₀)*t)]*exp(-γ*t) + ₀∫^tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*(t-τ)

3. γ² < ω₀² → Ω² = ω₀² - γ² →

→ x(t) = [x₀*cos(Ω*t) + (x₁ + γx₀)*sin(Ω*t)/Ω]*exp(-γ*t) + 1/Ω*₀∫^tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ])

Кто хочет решение данного дифференциального уравнения методом операционного исчисления, пишите "+"

Изменено 5 февраля 20197 г пользователем Abzster0_o