Перейти к публикации

Полное решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Abzster0_o

Автор: Abzster0_o
в Флудильня

Рекомендованные сообщения

Abzster0_o Завсегдатай

Abzster0_o

Опубликовано:
Опубликовано: (изменено)

Уравнение колебаний для x(t):

 

ẍ + 2γẋ + ω02 + x = f(t)

{ x(0) = x0

{ ẋ(0) = x1

 

Запишем и решим характеристическое уравнение:

 

k2 + 2γk + ω02 = 0

k1,2 = -γ ± (γ2 - ω02)1/2

 

Рассмотрим 3 различных случая, когда k1,2:

 

1. γ2 - ω02 > 0 → Γ2 = γ2 - ω02 → k1,2 = -γ ± Γ

2. γ2 - ω02 = 0 → k1,2 = -γ

3. γ2 - ω02 < 0 → Ω2 = ω02 - γ2 → k1,2 = -γ ± iΩ

 

Запишем решения однородных дифференциальных уравнений для этих случаев:

 

1. xо(t) = [C1*exp(Γ*t) + C2*exp(-Γ*t)]*exp(-γ*t)

2. xо(t) = [C1 + C2*t]*exp(-γ*t)

3. xо(t) = [C1*cos(Ω*t) + C2*sin(Ω*t)]*exp(-γ*t)

 

Вспомним представления гиперболических функций:

 

ch(Γ*t) = 1/2*[exp(Γ*t) + exp(-Γ*t)]

sh(Γ*t) = 1/2*[exp(Γ*t) - exp(-Γ*t)]

exp(Γ*t) = ch(Γ*t) + sh(Γ*t)

exp(-Γ*t) = ch(Γ*t) - sh(Γ*t)

 

Разберём частное решение неоднородного дифференциального уравнения для третьего случая:

 

x*(t) = [C1(t)*cos(Ω*t) + C2(t)*sin(Ω*t)]*exp(-γ*t)

 

Для нахождения неизвестных функций C1 и C2 применим метод вариации постоянной:

 

Ċ1*exp(-γ*t)*cos(Ω*t) + Ċ2*exp(-γ*t)*sin(Ω*t) = 0

Ċ1*{exp(-γ*t)*[-γ*cos(Ω*t) - Ω*sin(Ω*t)]} + Ċ2*{exp(-γ*t)*[-γ*sin(Ω*t) + Ω*cos(Ω*t)]} = f(t)

 

Для решения этой системы будем пользоваться методом Крамера:

 

Δ = exp(-γ*t)*Ω*[cos2(Ω*t) + sin2(Ω*t)] = exp(-γ*t)*Ω

Ċ1 = -f(t)*exp(γ*t)*sin(Ω*t)/Ω

Ċ2 = f(t)*exp(γ*t)*cos(Ω*t)/Ω

 

После интегрирования получаем:

 

C1(t) = -1/Ω*0∫tdτ*f(τ)*exp(γ*τ)*sin(Ω*τ)

C2(t) = 1/Ω*0∫tdτ*f(τ)*exp(γ*τ)*cos(Ω*τ)

 

И подставляем найденные функции в наше частное решение:

 

x*(t) = 1/Ω*0∫tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*[cos(Ω*t)*sin(Ω*τ) + sin(Ω*t)*cos(Ω*τ)] = 1/Ω*0∫tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ])

 

Следовательно общее решение неоднородного дифференциального уравнения для третьего случая будет таким:

 

x(t) = [C1*cos(Ω*t) + C2*sin(Ω*t)]*exp(-γ*t) + 1/Ω*0∫tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ])

 

Теперь вспомним, что у нас задача Коши и используем начальные условия:

 

x*(0) = 0

ẋ*(0) = 0

xо(0) = C1

ẋо(0) = -γC1 + ΩC2

 

Тем самым найдём наши константы и подставим их в решение:

 

C1 = x0

C2 = (x1 + γx0)/Ω

 

x(t) = [x0*cos(Ω*t) + (x1 + γx0)*sin(Ω*t)/Ω]*exp(-γ*t) + 1/Ω*0∫tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ])

 

Что бы восстановить решение для первого и второго случая нам достаточно будет вспомнить связь тригонометрических функций с гиперболическими и первый замечательный предел, после чего можно уже смело записывать ответ:

 

1. γ2 > ω02 → Γ2 = γ2 - ω02 →

→ x(t) = [x0*ch(Γ*t) + (x1 + γx0)*sh(Γ*t)/Γ]*exp(-γ*t) + 1/Γ*0∫tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sh(Γ*[t-τ])

2. γ2 = ω02 → Γ = Ω = 0 →

→ x(t) = [x0 + (x1 + γx0)*t)]*exp(-γ*t) + 0∫tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*(t-τ)

3. γ2 < ω02 → Ω2 = ω02 - γ2 →

→ x(t) = [x0*cos(Ω*t) + (x1 + γx0)*sin(Ω*t)/Ω]*exp(-γ*t) + 1/Ω*0∫tdτ*f(τ)*exp(-γ*[t-τ])*sin(Ω*[t-τ])

 

 

Кто хочет решение данного дифференциального уравнения методом операционного исчисления, пишите "+"

Изменено пользователем Abzster0_o
  • Ответы 56
  • Создано
  • Последний ответ

Лучшие авторы в этой теме

Популярные дни

Лучшие авторы в этой теме

Популярные дни

Популярные сообщения

Abzster0_o
Abzster0_o

Уравнение колебаний для x(t):   ẍ + 2γẋ + ω02 + x = f(t) { x(0) = x0 { ẋ(0) = x1   Запишем и решим характеристическое уравнение:   k2 + 2γk + ω02 = 0 k1,2 = -γ ± (γ2 - ω02)1/2   Рассмотрим

xX_Silver_Fox_Xx
xX_Silver_Fox_Xx

+

Tovarish
Tovarish

+

Гость
Эта тема закрыта для дальнейших сообщений.
Перейти к списку тем

  • Сейчас на странице   0 пользователей

    • Нет пользователей, просматривающих эту страницу.
×
×
  • Создать...