surprisegirl Опубликовано: 20 сентября 2022 Поделиться Опубликовано: 20 сентября 2022 dat1292ammorning https://forum.vimeworld.com/profile/269957-dat1292ammorning/ surprisegirl оск https://imgur.com/a/YXKDQgo sxtn 1 Ссылка на комментарий
dat1292ammorning Опубликовано: 20 сентября 2022 Поделиться Опубликовано: 20 сентября 2022 нет ты долбаебина Ссылка на комментарий
MrFantaOOO Опубликовано: 21 сентября 2022 Поделиться Опубликовано: 21 сентября 2022 я топ 1 китпвп Ссылка на комментарий
Hampton Опубликовано: 21 сентября 2022 Поделиться Опубликовано: 21 сентября 2022 Я топ 1 ваймворлда, фанаты, вопросы? Ссылка на комментарий
KaiHavertz Опубликовано: 23 сентября 2022 Поделиться Опубликовано: 23 сентября 2022 21.09.2022 в 11:33, Hampton сказал: Я топ 1 ваймворлда, фанаты, вопросы? да, что такое радиан Ссылка на комментарий
Hampton Опубликовано: 23 сентября 2022 Поделиться Опубликовано: 23 сентября 2022 19 минут назад, negoday сказал: да, что такое радиан Радиан [править | править код] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 3 декабря 2021 года; проверки требуют 7 правок. Перейти к навигацииПерейти к поиску Радиан рад 1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности Величинавеличина угла СистемаСИ Типосновная Медиафайлы на Викискладе Некоторые важные углы, измеренные в радианах. Все многоугольники, изображенные на диаграммах, — правильные Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу[1]. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС[2]. Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану[3]. Из определения следует, что величина полного угла равна 2π радиан (см. рис. справа). Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла[4][5]. Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна α ∙ R. Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная. Содержание 1Радиан в Международной системе единиц (СИ) 1.1Кратные и дольные единицы 2Связь радиана с другими единицами 2.1Таблица градусов, радиан и град 3Радианная мера в математическом анализе 4История 5См. также 6Примечания 7Литература Радиан в Международной системе единиц (СИ)[править | править код] В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом[6]. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная[7] безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad[8]. Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду[9]. Кратные и дольные единицы[править | править код] Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад. КратныеДольные величинаназваниеобозначениевеличинаназваниеобозначение 101 раддекарадиандарадdarad10−1 раддецирадиандрадdrad 102 радгекторадианградhrad10−2 радсантирадиансрадcrad 103 радкилорадианкрадkrad10−3 радмиллирадианмрадmrad 106 радмегарадианМрадMrad10−6 радмикрорадианмкрадµrad 109 радгигарадианГрадGrad10−9 раднанорадианнрадnrad 1012 радтерарадианТрадTrad10−12 радпикорадианпрадprad 1015 радпетарадианПрадPrad10−15 радфемторадианфрадfrad 1018 радэксарадианЭрадErad10−18 радатторадианарадarad 1021 радзеттарадианЗрадZrad10−21 радзепторадианзрадzrad 1024 радиоттарадианИрадYrad10−24 радиокторадианирадyrad рекомендовано к применению применять не рекомендуется не применяются или редко применяются на практике Связь радиана с другими единицами[править | править код] Угол в 1 радиан. Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой: 1 радиан = 1/(2π) оборотов = 180/π градусов = 200/π градов. Очевидно, развернутый угол равен {\displaystyle 180^{\circ },} или {\displaystyle {\frac {\pi \cdot r}{r}}=\pi } радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот. a[°] = α[рад] × (360° / (2π)) или α[рад] × (180° / π), α[рад] = a[°] : (180° / π) = a[°] × (π / 180°), где α[рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах. 1 рад (или {\displaystyle p^{\circ }}) = {\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17'44{,}806''}(мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды) {\displaystyle p'} (или 1 рад в минутах) = {\displaystyle {\frac {360^{\circ }\cdot 60'}{2\pi }}\approx 3437{,}747'} {\displaystyle p''} (или 1 рад в секундах) = {\displaystyle {\frac {360^{\circ }\cdot 60'\cdot 60''}{2\pi }}\approx 206264{,}8''.} Номограмма для перевода радианы/градусы. В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что {\displaystyle p^{\backprime \backprime }} (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = {\displaystyle {\frac {400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }}=636620.} Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения. Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим: Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа ({\displaystyle \mathrm {rad} }) делаем именованное ({\displaystyle p^{\circ },p',p''}) и поэтому должны множить на {\displaystyle p^{\circ }~(}или {\displaystyle p',p'')}; Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на {\displaystyle p^{\circ }~(}или {\displaystyle p',p''),} либо же умножать на перевёрнутую дробь {\displaystyle {\frac {1}{p^{\circ }}}~({\frac {1}{p'}},{\frac {1}{p''}}).} Пример 1. Перевести в радианы {\displaystyle 5^{\circ }43'46''.} {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}[\mathrm {rad} ]\eqcirc 5^{\circ }={\frac {5^{\circ }}{\displaystyle {p^{\circ }}}}~\mathrm {rad} =0{,}0872_{6}}[10] {\displaystyle 43'={\frac {43'}{p'}}~\mathrm {rad} =0{,}0125_{08}}[10] {\displaystyle 46''={\frac {46''}{p''}}~\mathrm {rad} =0{,}0002_{23}}[10] {\displaystyle \sum \approx 0{,}0999_{9}~\mathrm {rad} }[10] {\displaystyle =0{,}1~\mathrm {rad} } Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса, и однократного деления на {\displaystyle p^{\circ }:} (как правило, этот способ более точен) {\displaystyle 46''={\frac {46''}{60''}}=0{,}{\boldsymbol {77}}'} {\displaystyle 43{,}{\boldsymbol {77}}'={\frac {43{,}77'}{60'}}=0{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }} {\displaystyle \sum =5{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }} {\displaystyle 5{,}7295^{\circ }={\frac {5{,}7295^{\circ }}{p^{\circ }}}~\mathrm {rad} ={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\displaystyle {57{,}295^{\circ }}}}=0{,}1~\mathrm {rad} } Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан. {\displaystyle a[^{\circ }]\eqcirc 1\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=1\cdot 57{,}29578^{\circ }=57{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }} {\displaystyle 0{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }\cdot 60'=17{,}{\boldsymbol {7468}}'} {\displaystyle 0{,}{\boldsymbol {7468}}'\cdot 60''=44{,}807''\approx 45''} Итого {\displaystyle \approx 57^{\circ }17'45''.} Таблица градусов, радиан и град[править | править код] Таблица углов[11] Угол, в долях от полногоГрадусыРадианыГрадыСинусКосинусТангенс {\displaystyle 0}{\displaystyle 0^{\circ }}{\displaystyle 0}{\displaystyle 0^{\mathrm {g} }}{\displaystyle 0}1{\displaystyle 0} {\displaystyle {\frac {1}{24}}}{\displaystyle 15^{\circ }}{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}{\displaystyle 33{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {1}{12}}}{\displaystyle 30^{\circ }}{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}{\displaystyle 16{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} {\displaystyle {\frac {1}{8}}}{\displaystyle 45^{\circ }}{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}{\displaystyle 50^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle 1} {\displaystyle {\frac {1}{6}}}{\displaystyle 60^{\circ }}{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}{\displaystyle 66{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle {\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {5}{24}}}{\displaystyle 75^{\circ }}{\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}{\displaystyle 88{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {1}{4}}}{\displaystyle 90^{\circ }}{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}{\displaystyle 100^{\mathrm {g} }}{\displaystyle 1}{\displaystyle 0}не определяется {\displaystyle {\frac {7}{24}}}{\displaystyle 105^{\circ }}{\displaystyle {\frac {7\pi }{12}}}{\displaystyle 116{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}{\displaystyle -2-{\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {1}{3}}}{\displaystyle 120^{\circ }}{\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}{\displaystyle 133{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}{\displaystyle -{\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {3}{8}}}{\displaystyle 135^{\circ }}{\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}{\displaystyle 150^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle -1} {\displaystyle {\frac {5}{12}}}{\displaystyle 150^{\circ }}{\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}{\displaystyle 166{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}} {\displaystyle {\frac {11}{24}}}{\displaystyle 165^{\circ }}{\displaystyle {\frac {11\pi }{12}}}{\displaystyle 183{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}{\displaystyle -2+{\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle 180^{\circ }}{\displaystyle \pi }{\displaystyle 200^{\mathrm {g} }}{\displaystyle 0}-1{\displaystyle 0} {\displaystyle {\frac {7}{12}}}{\displaystyle 210^{\circ }}{\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}}{\displaystyle 233{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} {\displaystyle {\dfrac {5}{8}}}{\displaystyle 225^{\circ }}{\displaystyle {\dfrac {5\pi }{4}}}{\displaystyle 250^{\mathrm {g} }}{\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle 1} {\displaystyle {\frac {2}{3}}}{\displaystyle 240^{\circ }}{\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}{\displaystyle 266{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}{\displaystyle {\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {3}{4}}}{\displaystyle 270^{\circ }}{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}{\displaystyle 300^{\mathrm {g} }}{\displaystyle -1}{\displaystyle 0}не определяется {\displaystyle {\frac {5}{6}}}{\displaystyle 300^{\circ }}{\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}}{\displaystyle 333{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle -{\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {7}{8}}}{\displaystyle 315^{\circ }}{\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}}{\displaystyle 350^{\mathrm {g} }}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle -1} {\displaystyle {\frac {11}{12}}}{\displaystyle 330^{\circ }}{\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}}{\displaystyle 366{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}} {\displaystyle 1}{\displaystyle 360^{\circ }}{\displaystyle 2\pi }{\displaystyle 400^{\mathrm {g} }}{\displaystyle 0}1{\displaystyle 0} Радианная мера в математическом анализе[править | править код] При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается. При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее {\displaystyle 0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43'{,}77)}, приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше {\displaystyle 0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34'{,}38)}, — то до шестого знака после запятой[12]: {\displaystyle \sin \alpha \approx \operatorname {tg} \,\alpha \approx \alpha .} История[править | править код] Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной[13]. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы[14]. Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан»[15][16][17]. См. также[править | править код] Град, минута, секунда Градус, минута, секунда Оборот (единица измерения) Парсек Стерадиан Тысячная (угол) Примечания[править | править код] ↑ Радиан // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4. ↑ Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 98. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5. ↑ Выгодский, 1965. ↑ Гельфанд, Львовский, Тоом, 2002. ↑ David E. Joyce. Measurement of Angles (англ.). Dave's Short Trig Course. Clark University. Дата обращения: 8 сентября 2015. Архивировано 7 сентября 2015 года. ↑ Резолюция 12 XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) (англ.). Международное бюро мер и весов. Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 28 июля 2012 года. ↑ Производная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице. ↑ ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин. (недоступная ссылка). Дата обращения: 18 сентября 2012. Архивировано 10 ноября 2012 года. ↑ Units for dimensionless quantities, also called quantities of dimension one (англ.). SI Brochure: The International System of Units (SI). Международное бюро мер и весов (2006). Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 7 октября 2014 года. ↑ Перейти обратно:1 2 3 4 Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд. ↑ Abramowitz & Stegun, 1972, p. 74, 4.3.46. ↑ {\displaystyle \sin 5^{\circ }43'{,}77=0{,}0998\approx 0{,}100} {\displaystyle \operatorname {tg} 5^{\circ }43'{,}77=0{,}1003\approx 0{,}100} (точность нарушается в четвертом знаке после запятой) {\displaystyle \sin 0^{\circ }34'{,}38=0{,}0099998\approx 0{,}010000} {\displaystyle \operatorname {tg} 0^{\circ }34'{,}38=0{,}0100003\approx 0{,}010000} (точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой) Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы {\displaystyle 5^{\circ }43'{,}77~(\approx 5^{\circ }43'46'')} и {\displaystyle 0^{\circ }34'{,}38~(\approx 0^{\circ }34'23'')}; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки (Панов Д. Ю. Счётная линейка. — 25-е изд. — М.: изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы), 1982. — 176 с.) ↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. Biography of Roger Cotes. The MacTutor History of Mathematics (февраль 2005). Дата обращения: 3 февраля 2014. Архивировано 24 сентября 2012 года. ↑ Luckey, Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi (нем.) / Siggel, A.. — Berlin: Akademie Verlag, 1953. — S. 40. ↑ Florian Cajori. History of Mathematical Notations (неопр.). — 1929. — Т. 2. — С. 147—148. — ISBN 0-486-67766-4. ↑ Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2110. — P. 156. — doi:10.1038/083156a0. — Bibcode: 1910Natur..83..156M.Thomson, James. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2112. — P. 217. — doi:10.1038/083217c0. — Bibcode: 1910Natur..83..217T.Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2120. — P. 459—460. — doi:10.1038/083459d0. — Bibcode: 1910Natur..83..459M. ↑ Miller, Jeff Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (23 ноября 2009). Дата обращения: 30 сентября 2011. Архивировано 18 января 2021 года. Литература[править | править код] Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340—343. — 424 с. Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X. Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (англ.). — New York: Dover Publications, 1972. — ISBN 0-486-61272-4. Ссылка на комментарий
KaiHavertz Опубликовано: 23 сентября 2022 Поделиться Опубликовано: 23 сентября 2022 1 час назад, Hampton сказал: Радиан [править | править код] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 3 декабря 2021 года; проверки требуют 7 правок. Перейти к навигацииПерейти к поиску Радиан рад 1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности Величинавеличина угла СистемаСИ Типосновная Медиафайлы на Викискладе Некоторые важные углы, измеренные в радианах. Все многоугольники, изображенные на диаграммах, — правильные Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу[1]. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС[2]. Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану[3]. Из определения следует, что величина полного угла равна 2π радиан (см. рис. справа). Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла[4][5]. Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна α ∙ R. Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная. Содержание 1Радиан в Международной системе единиц (СИ) 1.1Кратные и дольные единицы 2Связь радиана с другими единицами 2.1Таблица градусов, радиан и град 3Радианная мера в математическом анализе 4История 5См. также 6Примечания 7Литература Радиан в Международной системе единиц (СИ)[править | править код] В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом[6]. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная[7] безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad[8]. Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду[9]. Кратные и дольные единицы[править | править код] Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад. КратныеДольные величинаназваниеобозначениевеличинаназваниеобозначение 101 раддекарадиандарадdarad10−1 раддецирадиандрадdrad 102 радгекторадианградhrad10−2 радсантирадиансрадcrad 103 радкилорадианкрадkrad10−3 радмиллирадианмрадmrad 106 радмегарадианМрадMrad10−6 радмикрорадианмкрадµrad 109 радгигарадианГрадGrad10−9 раднанорадианнрадnrad 1012 радтерарадианТрадTrad10−12 радпикорадианпрадprad 1015 радпетарадианПрадPrad10−15 радфемторадианфрадfrad 1018 радэксарадианЭрадErad10−18 радатторадианарадarad 1021 радзеттарадианЗрадZrad10−21 радзепторадианзрадzrad 1024 радиоттарадианИрадYrad10−24 радиокторадианирадyrad рекомендовано к применению применять не рекомендуется не применяются или редко применяются на практике Связь радиана с другими единицами[править | править код] Угол в 1 радиан. Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой: 1 радиан = 1/(2π) оборотов = 180/π градусов = 200/π градов. Очевидно, развернутый угол равен {\displaystyle 180^{\circ },} или {\displaystyle {\frac {\pi \cdot r}{r}}=\pi } радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот. a[°] = α[рад] × (360° / (2π)) или α[рад] × (180° / π), α[рад] = a[°] : (180° / π) = a[°] × (π / 180°), где α[рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах. 1 рад (или {\displaystyle p^{\circ }}) = {\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17'44{,}806''}(мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды) {\displaystyle p'} (или 1 рад в минутах) = {\displaystyle {\frac {360^{\circ }\cdot 60'}{2\pi }}\approx 3437{,}747'} {\displaystyle p''} (или 1 рад в секундах) = {\displaystyle {\frac {360^{\circ }\cdot 60'\cdot 60''}{2\pi }}\approx 206264{,}8''.} Номограмма для перевода радианы/градусы. В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что {\displaystyle p^{\backprime \backprime }} (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = {\displaystyle {\frac {400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }}=636620.} Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения. Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим: Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа ({\displaystyle \mathrm {rad} }) делаем именованное ({\displaystyle p^{\circ },p',p''}) и поэтому должны множить на {\displaystyle p^{\circ }~(}или {\displaystyle p',p'')}; Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на {\displaystyle p^{\circ }~(}или {\displaystyle p',p''),} либо же умножать на перевёрнутую дробь {\displaystyle {\frac {1}{p^{\circ }}}~({\frac {1}{p'}},{\frac {1}{p''}}).} Пример 1. Перевести в радианы {\displaystyle 5^{\circ }43'46''.} {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}[\mathrm {rad} ]\eqcirc 5^{\circ }={\frac {5^{\circ }}{\displaystyle {p^{\circ }}}}~\mathrm {rad} =0{,}0872_{6}}[10] {\displaystyle 43'={\frac {43'}{p'}}~\mathrm {rad} =0{,}0125_{08}}[10] {\displaystyle 46''={\frac {46''}{p''}}~\mathrm {rad} =0{,}0002_{23}}[10] {\displaystyle \sum \approx 0{,}0999_{9}~\mathrm {rad} }[10] {\displaystyle =0{,}1~\mathrm {rad} } Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса, и однократного деления на {\displaystyle p^{\circ }:} (как правило, этот способ более точен) {\displaystyle 46''={\frac {46''}{60''}}=0{,}{\boldsymbol {77}}'} {\displaystyle 43{,}{\boldsymbol {77}}'={\frac {43{,}77'}{60'}}=0{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }} {\displaystyle \sum =5{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }} {\displaystyle 5{,}7295^{\circ }={\frac {5{,}7295^{\circ }}{p^{\circ }}}~\mathrm {rad} ={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\displaystyle {57{,}295^{\circ }}}}=0{,}1~\mathrm {rad} } Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан. {\displaystyle a[^{\circ }]\eqcirc 1\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=1\cdot 57{,}29578^{\circ }=57{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }} {\displaystyle 0{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }\cdot 60'=17{,}{\boldsymbol {7468}}'} {\displaystyle 0{,}{\boldsymbol {7468}}'\cdot 60''=44{,}807''\approx 45''} Итого {\displaystyle \approx 57^{\circ }17'45''.} Таблица градусов, радиан и град[править | править код] Таблица углов[11] Угол, в долях от полногоГрадусыРадианыГрадыСинусКосинусТангенс {\displaystyle 0}{\displaystyle 0^{\circ }}{\displaystyle 0}{\displaystyle 0^{\mathrm {g} }}{\displaystyle 0}1{\displaystyle 0} {\displaystyle {\frac {1}{24}}}{\displaystyle 15^{\circ }}{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}{\displaystyle 33{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {1}{12}}}{\displaystyle 30^{\circ }}{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}{\displaystyle 16{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} {\displaystyle {\frac {1}{8}}}{\displaystyle 45^{\circ }}{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}{\displaystyle 50^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle 1} {\displaystyle {\frac {1}{6}}}{\displaystyle 60^{\circ }}{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}{\displaystyle 66{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle {\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {5}{24}}}{\displaystyle 75^{\circ }}{\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}{\displaystyle 88{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {1}{4}}}{\displaystyle 90^{\circ }}{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}{\displaystyle 100^{\mathrm {g} }}{\displaystyle 1}{\displaystyle 0}не определяется {\displaystyle {\frac {7}{24}}}{\displaystyle 105^{\circ }}{\displaystyle {\frac {7\pi }{12}}}{\displaystyle 116{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}{\displaystyle -2-{\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {1}{3}}}{\displaystyle 120^{\circ }}{\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}{\displaystyle 133{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}{\displaystyle -{\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {3}{8}}}{\displaystyle 135^{\circ }}{\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}{\displaystyle 150^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle -1} {\displaystyle {\frac {5}{12}}}{\displaystyle 150^{\circ }}{\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}{\displaystyle 166{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}} {\displaystyle {\frac {11}{24}}}{\displaystyle 165^{\circ }}{\displaystyle {\frac {11\pi }{12}}}{\displaystyle 183{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}{\displaystyle -2+{\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle 180^{\circ }}{\displaystyle \pi }{\displaystyle 200^{\mathrm {g} }}{\displaystyle 0}-1{\displaystyle 0} {\displaystyle {\frac {7}{12}}}{\displaystyle 210^{\circ }}{\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}}{\displaystyle 233{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} {\displaystyle {\dfrac {5}{8}}}{\displaystyle 225^{\circ }}{\displaystyle {\dfrac {5\pi }{4}}}{\displaystyle 250^{\mathrm {g} }}{\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle 1} {\displaystyle {\frac {2}{3}}}{\displaystyle 240^{\circ }}{\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}{\displaystyle 266{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}{\displaystyle {\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {3}{4}}}{\displaystyle 270^{\circ }}{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}{\displaystyle 300^{\mathrm {g} }}{\displaystyle -1}{\displaystyle 0}не определяется {\displaystyle {\frac {5}{6}}}{\displaystyle 300^{\circ }}{\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}}{\displaystyle 333{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle -{\sqrt {3}}} {\displaystyle {\frac {7}{8}}}{\displaystyle 315^{\circ }}{\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}}{\displaystyle 350^{\mathrm {g} }}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\displaystyle -1} {\displaystyle {\frac {11}{12}}}{\displaystyle 330^{\circ }}{\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}}{\displaystyle 366{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}} {\displaystyle 1}{\displaystyle 360^{\circ }}{\displaystyle 2\pi }{\displaystyle 400^{\mathrm {g} }}{\displaystyle 0}1{\displaystyle 0} Радианная мера в математическом анализе[править | править код] При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается. При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее {\displaystyle 0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43'{,}77)}, приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше {\displaystyle 0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34'{,}38)}, — то до шестого знака после запятой[12]: {\displaystyle \sin \alpha \approx \operatorname {tg} \,\alpha \approx \alpha .} История[править | править код] Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной[13]. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы[14]. Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан»[15][16][17]. См. также[править | править код] Град, минута, секунда Градус, минута, секунда Оборот (единица измерения) Парсек Стерадиан Тысячная (угол) Примечания[править | править код] ↑ Радиан // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4. ↑ Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 98. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5. ↑ Выгодский, 1965. ↑ Гельфанд, Львовский, Тоом, 2002. ↑ David E. Joyce. Measurement of Angles (англ.). Dave's Short Trig Course. Clark University. Дата обращения: 8 сентября 2015. Архивировано 7 сентября 2015 года. ↑ Резолюция 12 XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) (англ.). Международное бюро мер и весов. Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 28 июля 2012 года. ↑ Производная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице. ↑ ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин. (недоступная ссылка). Дата обращения: 18 сентября 2012. Архивировано 10 ноября 2012 года. ↑ Units for dimensionless quantities, also called quantities of dimension one (англ.). SI Brochure: The International System of Units (SI). Международное бюро мер и весов (2006). Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 7 октября 2014 года. ↑ Перейти обратно:1 2 3 4 Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд. ↑ Abramowitz & Stegun, 1972, p. 74, 4.3.46. ↑ {\displaystyle \sin 5^{\circ }43'{,}77=0{,}0998\approx 0{,}100} {\displaystyle \operatorname {tg} 5^{\circ }43'{,}77=0{,}1003\approx 0{,}100} (точность нарушается в четвертом знаке после запятой) {\displaystyle \sin 0^{\circ }34'{,}38=0{,}0099998\approx 0{,}010000} {\displaystyle \operatorname {tg} 0^{\circ }34'{,}38=0{,}0100003\approx 0{,}010000} (точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой) Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы {\displaystyle 5^{\circ }43'{,}77~(\approx 5^{\circ }43'46'')} и {\displaystyle 0^{\circ }34'{,}38~(\approx 0^{\circ }34'23'')}; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки (Панов Д. Ю. Счётная линейка. — 25-е изд. — М.: изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы), 1982. — 176 с.) ↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. Biography of Roger Cotes. The MacTutor History of Mathematics (февраль 2005). Дата обращения: 3 февраля 2014. Архивировано 24 сентября 2012 года. ↑ Luckey, Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi (нем.) / Siggel, A.. — Berlin: Akademie Verlag, 1953. — S. 40. ↑ Florian Cajori. History of Mathematical Notations (неопр.). — 1929. — Т. 2. — С. 147—148. — ISBN 0-486-67766-4. ↑ Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2110. — P. 156. — doi:10.1038/083156a0. — Bibcode: 1910Natur..83..156M.Thomson, James. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2112. — P. 217. — doi:10.1038/083217c0. — Bibcode: 1910Natur..83..217T.Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2120. — P. 459—460. — doi:10.1038/083459d0. — Bibcode: 1910Natur..83..459M. ↑ Miller, Jeff Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (23 ноября 2009). Дата обращения: 30 сентября 2011. Архивировано 18 января 2021 года. Литература[править | править код] Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340—343. — 424 с. Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X. Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (англ.). — New York: Dover Publications, 1972. — ISBN 0-486-61272-4. ты зайка Ссылка на комментарий
Hampton Опубликовано: 24 сентября 2022 Поделиться Опубликовано: 24 сентября 2022 11 часов назад, negoday сказал: ты зайка похрюкаешь в гс? Ссылка на комментарий
Okssi Опубликовано: 10 октября 2022 Поделиться Опубликовано: 10 октября 2022 Меры приняты. Ссылка на комментарий
Рекомендованные сообщения