Безличный, в значении сказуемого, глагол «нету» есть в русском языке, но даже в словарях написано в скобках, что он разговорный.
Разговорные слова как правило имеют неприличный характер в официальном письме. А заявления на должность как раз официального стиля, так что употребление существующего слова «нету» некорректно по отношению к данному типу письму.
Доброй ночи, судари.